2017考研數學：透過歷年真題讀懂大綱

2016年08月26日16:02 來源：跨考教育手機看新聞

　　考研數學大綱是考研復習的權威依據。它針對每一部分內容規定了“考試內容”和“考試要求”。不過，隻看考綱恐怕不能完整把握考研要求。如考綱提到“掌握極限的性質及四則運算法則”，這提醒考生極限的性質和四則運算法則是重要考點，須掌握。可是考試到底怎麼考?要達到什麼程度(會做哪幾類題)才算掌握?光盯著考綱看是得不到讓人滿意的答案的。怎麼辦?把歷年真題請出來就好了：找出歷年真題中與極限性質四則運算法則相關的考題。解題，分析題，總結題，答案就浮出水面了。換句話說：考綱和真題雙劍合璧，才能完整把握考研數學的要求。下面筆者和考生一起結合真題讀考綱。

　　一、函數、極限、連續

模塊	考試內容	真題題型
函數	定義	建立函數關系（如數三根據經濟背景列出利潤的函數關系式）。
	運算（四則運算、復合、反函數）	1.求復合函數或某函數的反函數的解析式。 2.結合函數運算判斷函數的性質（如“連續加連續=連續，連續+間斷=間斷”）。
	性質（有界性、單調性、周期性、奇偶性）	1.單獨以選擇題的形式考察函數是否具有該性質。 2.運算過程中利用該性質化簡（如無窮小乘以有界量等於無窮小量，奇函數在對稱區間積分值為零）。
	分類（基本初等函數、初等函數、分段函數、隱函數、參數方程定義的函數、變上限積分函數）	識別各類函數，並作進一步討論（如識別該函數為隱函數，並求導數）。
極限	定義（數列極限、函數極限、左極限、右極限、無窮小、無窮大）	概念題。
	性質（唯一性、有界性、保號性）	有界性考概念題，保號性結合其他考點（極值、拐點、級數）考查。
	計算（四則運算法則、洛必達法則、等價無窮小替換、夾逼定理、單調有界必有極限原理、重要極限、泰勒公式）	極限計算是必考題。
連續	定義	根據定義判斷函數在一點、開區間以及閉區間的連續性。
	間斷點	求給定函數的間斷點（找“可疑點”，再按照間斷點的分類標准一一判斷）。
	初等函數的連續性	利用初等函數的定義識別初等函數，並利用此處的結論判斷其連續性。
	閉區間上連續函數的性質	用此處結論（最值定理、介值定理、零點定理）做中值相關証明題。

　　二、一元函數微分學

模塊	考試內容	真題題型
導數定義	導數定義	湊定義算極限、可導的充要條件。
	微分定義	由微分定義得出的微分的計算公式。
	可導、可微、連續之間的關系	分段點處的連續性與可導性。
導數計算	求導公式、法則	求一元函數導數，求多元函數的偏導數。
導數計算	常考類型	冪指函數求導、參數方程確定的函數求導和隱函數求導。求高階導數。
導數應用	切線與法線	求切線方程、法線方程以及曲線相切問題。
	單調性	求函數的單調區間或証明函數的單調性，不等式証明，根或零點問題。
	極值	找極值點或極值（利用極值的必要條件和充分條件）。
	凹凸性	求函數的凹凸區間或判斷函數的凹凸性。
	拐點	找拐點（利用拐點的必要條件和充分條件）。
	漸近線、曲率	求函數的漸近線（用漸近線的定義）。數一數二要求會用曲率的計算公式算曲率，利用曲率圓和曲率半徑的概念解題。
中值定理	中值定理（費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）	中值相關証明（從待証式子出發，分析選擇哪類定理（連續相關定理、微分相關定理、積分相關定理））。用泰勒公式算極限。

　　三、一元函數積分學

模塊	考試內容	真題題型
不定積分	原函數與不定積分	根據原函數與不定積分的關系求不定積分。
	性質	利用性質化簡不定積分。
	計算	考查湊微分法、根式的處理、分部積分法。有理函數積分，三角有理式的積分，指數有理式的積分。
定積分	定義	利用定義算極限（先由定積分的定義推出基本公式，在將所求極限湊成公式的形式（可分兩步走“湊i/n”，“提1/n”），再將極限化為定積分，通過算定積分間接算極限）。利用定義體現的微元法思想處理應用問題。
	性質	利用性質對定積分變形。單獨考查比較定理（考研考查定積分的比較本質上都在考查比較定理）。
	微積分基本定理	變限積分求導定理的証明。利用變限積分求導定理求變限積分的導數（由變限積分和另一函數構造的復合函數，被積函數同時含有積分變量和求導變量）。利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分。
定積分應用	幾何應用	平面圖形的面積（直角坐標系下曲邊梯形的面積和極坐標系下曲邊三角形的面積），簡單幾何體的體積（包括旋轉體的體積）。數一數二考查曲線弧長和旋轉體的側面積。幾何應用側重套公式計算。
定積分應用	物理應用	數一數二考查變力做功，形心質心和液體的靜壓力（利用微元法推出基本公式）。物理應用側重套利用微元法推導。
廣義積分	定義	利用定義判斷廣義積分的斂散性。
廣義積分	計算	計算廣義積分（可視為“定積分+取極限”）。

　　同學們在學習每一個知識點的過程中，要做好筆記。對於自己不理解的地方要標記出來，便於后期進行查漏補缺。每做完一道題目，要明白其解題思路，對於解題過程中所用到的方法、技巧進行歸納總結，今后再遇到同類型題目時，不費吹灰之力便可解決。如在求解極限的題目中，什麼時候使用洛必達法則、等價無窮小，這種解題技巧有必要進行總結。