2015年高考數學（北京卷）總體解析

2015年的高考數學試卷（北京卷），以《普通高中數學課程標准（實驗）》和《北京市普通高中新課程數學學科教學指導意見和模塊學習要求（試行）》以及《2015年普通高等學校招生全國統一考試北京卷考試說明》為依據，在命題思路、考查方式、試題呈現方式等方面，遵循穩定與發展相結合，繼承與創新相結合的原則。試卷設計堅持以學生為本的基本理念，既體現出了高考作為選拔性考試的要求，又在引導中學數學教學方面進行了不斷的探索。

試卷在總結和吸收高考數學北京卷十三年自主命題經驗的基礎上，嘗試創新。試題整體難度、考查內容、呈現方式等方面突顯北京特色，注重對學生未來發展所需要的基本數學素養的考查。在考查學生基礎知識、基本技能的同時，注重對學生運用基本數學知識和數學思想方法，分析與解決問題綜合能力的考查。合理控制試題難度與區分度，注意調動學生的學習積極性，正確引導中學數學教學。在促進有利於高校合理選才、科學評價上作出有益的探索。

1、保持特色，注重基礎知識的理解

多年來，高考數學北京卷一直堅持“簡潔、清晰、親切、嚴謹”的風格，難度保持穩定，注重對數學基礎知識、基本技能的全面考查。例如，理科第1、2、3、4、5、9、10、11、12、13、15、16、17等試題，注重考查數學基礎知識和基本技能。這些知識和技能，既是數學課程標准和考試說明中所要求的，也是作為一名理科生進一步學習和未來發展所必需的。

在試題表述上，力求准確簡潔，貼近中學生的閱讀習慣，避免在閱讀和理解上設置障礙和陷阱。數學學習重在理解，而不是生搬硬套。對基礎知識的考查，並不要求學生死記硬背概念、公式和法則，而是注重考查學生對基礎知識的理解和把握。例如，理科卷第6題主要考查數列、基本不等式性質等基本數學知識的理解和簡單運用。第16題的前兩問主要考查概率的基本概念和簡單計算，較為基礎﹔第三問考查學生對方差概念的本質理解，充分反映了北京試題“多想少算”特點。

理科卷第17、18、19、20題也從基本的問題開始。這樣做法的一個優點在於不會讓學生對數學敬而遠之，無從下手。例如，18題的第一問求曲線在點處的切線方程﹔即使是第20題的第一問，要求寫出集合的所有元素， 主要考查的是學生能否對集合概念理解和運用。

2、基於教材，重視主干知識的掌握

教材是學校教學最基本、最主要的依據，也是落實課程標准內容和能力目標要求的載體。有些問題源於教材，試圖通過這一導向，引導中學數學教學，改變教學中過分依賴復習資料、脫離教材、題海戰術的弊端。

選擇和填空題中的基本題大多數是源於教材中的例題或習題。例如，理科卷第9題，寫出的展開式中的系數﹔第11題，在極坐標系中，求點到直線的距離。這些都是常見的基本問題。第15題，已知三角函數表達式，先運用公式化簡，然后求出最小正周期和在給定區間上的最小值。這基本上是教材上例（習）題的變形。

雖然試題對考試說明中的各個部分的內容均有不同程度的涉及，但在考查要求上還是有主次之分，做到重點知識重點考查。重點考查的知識主要有函數與導數,平面向量與立體幾何，三角函數，解析幾何，統計與概率理科卷。`

當然，這部分內容在基礎性、層次性和綜合性等方面還是有一個總體設計，並從一定程度上保持試卷整體結構的穩定性。

3、著眼未來，強調數學的基本素養

現代社會的發展，數學越來越成為每一個公民所必備的基本素養。因此數學學科的高考既關注學科本身的基礎知識和基本技能，更需要關注於有利於促進學生終身發展的數學空間想象能力、推理論証能力、數據分析與處理能力以及問題解決能力等基本素養的考查。注重通性、通法的考查。

例如，理科卷第5題，根據三棱錐的三視圖來求三棱錐的表面積，這需要學生具有一定的空間想象能力。第17題，立體幾何題，既考查了學生的空間想象能力，又考查了學生的推理論証能力。而16題則是對學生數據分析與處理能力以及問題解決能力的綜合考查。

4、關注實踐，考察學生的應用意識

加強數學與現實的聯系是數學課程改革的一個重要導向，也是數學學習的一個重要目標。因此，試卷設計了適當的問題來考查學生閱讀、理解，綜合運用數學知識、思想方法解決實際問題的能力。

問題背景的選擇做到以下幾個方面：

（1）問題情景貼近學生的現實生活實際，不給學生因對現實問題的不了解而造成閱讀、理解方面的困難。

（2）問題設計基於真實資料和相關數據。

（3）所解決的問題的結論有現實意義。

今年北京高考文科試卷的第14題是考試成績的一種統計分析方法。考試是檢查學生學習狀況的重要手段，但許多時候往往隻用分數進行簡單排隊，加重了分數的競爭性和學生的心理負擔。學會運用科學方法對考試結果進行分析，可以為教師個性化指導學生提供重要依據，也能夠幫助學生分析自己的學習狀況，發現自己的優勢與不足。這道高考試題以此問題為背景。

高三年級位學生參加期末考試，某班位學生的語文成績、數學成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生。

從這次考試成績看，

在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是_______﹔

在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是_______．

此題考查學生閱讀圖表，提取信息、分析信息的能力，這些都是今后工作生活中需要具備的能力。

在第一問裡，關注的不是甲、乙兩位同學名次之間的關系，而是他們各自的語文成績與總成績的相關程度，關注的是如何利用成績分布信息分析一名學生在不同課程中的學習狀況，找到他的優勢科目。這對學生后續階段的學習以及選擇專業方向方面都有積極意義。

在第二問裡，同樣是學生自己的數學成績與自己的語文成績比較，解此題的關鍵是要搞清楚丙在第一個圖裡對應的點是哪個。

數學應用問題的考查，在一定程度上反映了學生對數學概念和規律的本質理解，更反映出學生運用數學方法定量客觀理性分析問題的思維習慣，而這些正是一個現代公民應該必備的基本數學素養。

5、適度綜合，體現一定的層次性

為高等學校選拔人才是高考的主要任務。試卷在保証基礎性、難度適中的前提下，還需要考查學生的綜合能力，以滿足人才選拔的要求。因此在試題的整體設計上，注意到層次性，讓不同能力水平的學生能夠得到充分的展示。主要體現在以下兩個方面：

通過問題的靈活性來甄別學生的能力水平。解決問題的靈活性是一個學生數學素養的一個重要指標，試題設計了較為靈活的問題，或從不同的解法中反映出不同能力水平的問題，來考查學生這方面的素養。例如，第8題可以用多種不同方法得出結論，讀圖能力、理解能力、觀察能力強的學生可以直接看出結論，而在這方面能力比較弱的學生則需要花較多的時間和精力。

對綜合性問題的解決能力則是一個學生綜合素養的集中體現。試卷中設計了一定的綜合性問題，主要是用以考查理科學生數學基礎扎實，具備綜合運用數學知識解決問題方面能力。例如理科卷18題第3問，求使得不等式恆成立的參數的最大值﹔19題第2問，判斷是否存在滿足特定條件的點，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由﹔20題的后兩問。這些問題，都有一定的挑戰性。

綜上，2015年的數學試卷繼續保持了科學嚴謹、平實大氣的特色，注重對學生數學基礎知識、基本技能、數學素養考查﹔注重繼承與創新相結合，穩定中求發展﹔試卷整體結構合理、難度適中、區分度合理﹔在開放性、探索性、應用性方面考查作出進一步的嘗試。