2017考研数学：透过历年真题读懂大纲

2016年08月26日16:02 来源：跨考教育手机看新闻

　　考研数学大纲是考研复习的权威依据。它针对每一部分内容规定了“考试内容”和“考试要求”。不过，只看考纲恐怕不能完整把握考研要求。如考纲提到“掌握极限的性质及四则运算法则”，这提醒考生极限的性质和四则运算法则是重要考点，须掌握。可是考试到底怎么考?要达到什么程度(会做哪几类题)才算掌握?光盯着考纲看是得不到让人满意的答案的。怎么办?把历年真题请出来就好了：找出历年真题中与极限性质四则运算法则相关的考题。解题，分析题，总结题，答案就浮出水面了。换句话说：考纲和真题双剑合璧，才能完整把握考研数学的要求。下面笔者和考生一起结合真题读考纲。

　　一、函数、极限、连续

模块	考试内容	真题题型
函数	定义	建立函数关系（如数三根据经济背景列出利润的函数关系式）。
	运算（四则运算、复合、反函数）	1.求复合函数或某函数的反函数的解析式。 2.结合函数运算判断函数的性质（如“连续加连续=连续，连续+间断=间断”）。
	性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）	1.单独以选择题的形式考察函数是否具有该性质。 2.运算过程中利用该性质化简（如无穷小乘以有界量等于无穷小量，奇函数在对称区间积分值为零）。
	分类（基本初等函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程定义的函数、变上限积分函数）	识别各类函数，并作进一步讨论（如识别该函数为隐函数，并求导数）。
极限	定义（数列极限、函数极限、左极限、右极限、无穷小、无穷大）	概念题。
	性质（唯一性、有界性、保号性）	有界性考概念题，保号性结合其他考点（极值、拐点、级数）考查。
	计算（四则运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换、夹逼定理、单调有界必有极限原理、重要极限、泰勒公式）	极限计算是必考题。
连续	定义	根据定义判断函数在一点、开区间以及闭区间的连续性。
	间断点	求给定函数的间断点（找“可疑点”，再按照间断点的分类标准一一判断）。
	初等函数的连续性	利用初等函数的定义识别初等函数，并利用此处的结论判断其连续性。
	闭区间上连续函数的性质	用此处结论（最值定理、介值定理、零点定理）做中值相关证明题。

　　二、一元函数微分学

模块	考试内容	真题题型
导数定义	导数定义	凑定义算极限、可导的充要条件。
	微分定义	由微分定义得出的微分的计算公式。
	可导、可微、连续之间的关系	分段点处的连续性与可导性。
导数计算	求导公式、法则	求一元函数导数，求多元函数的偏导数。
导数计算	常考类型	幂指函数求导、参数方程确定的函数求导和隐函数求导。求高阶导数。
导数应用	切线与法线	求切线方程、法线方程以及曲线相切问题。
	单调性	求函数的单调区间或证明函数的单调性，不等式证明，根或零点问题。
	极值	找极值点或极值（利用极值的必要条件和充分条件）。
	凹凸性	求函数的凹凸区间或判断函数的凹凸性。
	拐点	找拐点（利用拐点的必要条件和充分条件）。
	渐近线、曲率	求函数的渐近线（用渐近线的定义）。数一数二要求会用曲率的计算公式算曲率，利用曲率圆和曲率半径的概念解题。
中值定理	中值定理（费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）	中值相关证明（从待证式子出发，分析选择哪类定理（连续相关定理、微分相关定理、积分相关定理））。用泰勒公式算极限。

　　三、一元函数积分学

模块	考试内容	真题题型
不定积分	原函数与不定积分	根据原函数与不定积分的关系求不定积分。
	性质	利用性质化简不定积分。
	计算	考查凑微分法、根式的处理、分部积分法。有理函数积分，三角有理式的积分，指数有理式的积分。
定积分	定义	利用定义算极限（先由定积分的定义推出基本公式，在将所求极限凑成公式的形式（可分两步走“凑i/n”，“提1/n”），再将极限化为定积分，通过算定积分间接算极限）。利用定义体现的微元法思想处理应用问题。
	性质	利用性质对定积分变形。单独考查比较定理（考研考查定积分的比较本质上都在考查比较定理）。
	微积分基本定理	变限积分求导定理的证明。利用变限积分求导定理求变限积分的导数（由变限积分和另一函数构造的复合函数，被积函数同时含有积分变量和求导变量）。利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。
定积分应用	几何应用	平面图形的面积（直角坐标系下曲边梯形的面积和极坐标系下曲边三角形的面积），简单几何体的体积（包括旋转体的体积）。数一数二考查曲线弧长和旋转体的侧面积。几何应用侧重套公式计算。
定积分应用	物理应用	数一数二考查变力做功，形心质心和液体的静压力（利用微元法推出基本公式）。物理应用侧重套利用微元法推导。
广义积分	定义	利用定义判断广义积分的敛散性。
广义积分	计算	计算广义积分（可视为“定积分+取极限”）。

　　同学们在学习每一个知识点的过程中，要做好笔记。对于自己不理解的地方要标记出来，便于后期进行查漏补缺。每做完一道题目，要明白其解题思路，对于解题过程中所用到的方法、技巧进行归纳总结，今后再遇到同类型题目时，不费吹灰之力便可解决。如在求解极限的题目中，什么时候使用洛必达法则、等价无穷小，这种解题技巧有必要进行总结。