2013年浙江省考：数学运算中的集合容斥问题

数学运算中的集合问题，也称容斥原理是近几年经常出现的题型，考生应将其作为典型题目加以掌握。解决容斥原理的题目，方法是关键。此类题型主要包括两集合问题和三集合问题，并且近几年常出现的容斥问题基本都是涉及三集合的，本篇文章华图公务员考试研究中心就针对三集合的题目进行汇总。

三集合容斥问题主要有以下三种题型：

1、三集合标准型核心公式

2、三集合图示标数型（文氏图或者叫做韦恩图法）

  a.特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别；

  b.特别注意有没有“三个条件都不满足的情形”；

1. 三集合整体重复型核心公式

    三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时，使用整体重复型公式。并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外，可利用尾数法进行快速求解。

原理：在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下满两个等式：

W=x+y+z         

A+B+C=x×1+y×2+z×3

 下面通过几个例题阐述三集合容斥的相关内容：

【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。

A.22人        B.28人       C.30人        D.36人

【解析】设A=喜欢看球赛的人58，B=喜欢看戏剧的人38，C=喜欢看电影的人52，则有：

A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人18

B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人16

A∩B∩C=三种都喜欢看的人12

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种100

由集合运算公式可知：C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

=148-(100+18+16-12)=26

所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C

=52-16-26+12=22

注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏图我们很快就可以看出结果。解法如下：

由题意知：（40-x）+x+(36-x)+6+12+4+16=100， 解得 x=14； 则只喜欢看电影的人有 36-x=22。

【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有( )。

A.4人         B.5人         C.6人        D.7人

解析：首先采用公式法解决此题，设A=英语教师8+5+4-2=15，B=法语教师，C=日语教师6+5+3-2=12,(但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A，B,C三个集合所代表的含义，并非A=8,C=6.),则C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

     =27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5

 另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图)：

由题意我们有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。

【例3】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（   ）

  A.120          B.144            C.177              D.192

【解析】根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，设所有准备参加考试的学生人数为W，只准备参加一门考试的学生人数为X。使用三集合整体重复型公式：

   W=X+46+24

63+89+47=X+2×46+3×24

 根据尾数法，解得x尾数是5，W尾数是5。因此，学生总数=W+15，尾数为0，选A。

【例4】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）

A. 37      B. 36      C. 35     D. 34

【解析】根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，设一项不合格的为X,所有不合格产品为W。使用三集合整体重复型公式：

    W=X+7+1

    8+9+10=X+2×7+3×1

   根据尾数法，解得X尾数为0，W尾数为8。 因此，全合格的产品数=总数-W = 52-W，尾数为4，选D。

 通过以上几个三集合例题可以发现，对于容斥问题首先判断题型，是三集合元素已知的题目，还是三集合整体重复型题目。三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形，特别是整体重复型公式，三集合容斥问题就迎刃而解了。华图公务员考试研究中心祝大家在考试中顺利通关！

来源：华图教育