環形運動是行程問題裡最近幾年地方考試的熱點,筆者希望考生對這一題型引起足夠的重視。
基本知識點:環形運動中,
同向而行,相鄰兩次相遇所需要的時間 = 周長 / (大速度-小速度)
背向而行,相鄰兩次相遇所需要的時間 = 周長 / (大速度+小速度)
【例1】甲、乙二人同時同地繞400米的循環形跑道同向而行,甲每秒鐘跑8米,乙每秒鐘跑9米,多少秒后甲、乙二人第一次相遇?
A.400 B.800 C.1200 D.1600
【解析】A 甲、乙兩人同向而行,乙的速度大於甲的速度,當乙走的路程比甲走的路程多一個周長時,甲、乙兩人第一次相遇,根據公式可知,第一次相遇所需要的時間為 400/(9-8)=400秒
【例2】甲、乙二人同時同地繞400米的循環形跑道同向而行,甲每秒鐘跑8米,乙每秒鐘跑9米,多少秒后甲、乙二人第三次相遇?【江西2009-38】
A.400 B.800 C.1200 D.1600
【解析】C 09年的江西考題在例1的基礎上稍加變化,問兩人第三次相遇的時間,在該題中,每次相遇所需要的時間都為相同的定值,第三次相遇的時間為第一次相遇時間的三倍,故3×400=1200秒
【例3】甲、乙二人同時同地繞400米的循環形跑道背向而行,甲每秒鐘跑6米,乙每秒鐘跑2米,多少秒后甲、乙二人第一次相遇?
A.40 B.50 C.60 D.70
【解析】B 對於背向而行的環形運動,當兩人走的路程和為環形跑道周長時,兩人第一次相遇,時間為400/(6+2)=50秒,故選B 同樣,每次相遇所需要的時間也為一個相同的定值,50秒。
【例4】甲、乙兩人同時從A點背向出發,沿400米環形跑道行走,甲每分鐘走80米,乙每分鐘走50米,兩人至少經過多少分鐘才能在A點相遇?( )【北京社招2005-16】
A. 10分鐘 B. 12分鐘 C. 13分鐘 D. 40分鐘
【解析】 這個題同樣也是背向而行的環形運動問題,但在例3的基礎上難度又有所增加,在該題中,對相遇地點有了限制,要求在原出發點的A點相遇,此時,我們可以換一個角度來思考,甲從A點出發,再次回到A點,所需要的時間為400/80=5分鐘,每次回到A點所需要的時間為5的倍數。同理,乙每次回到A點所需要的時間為8(400/50=8)的倍數,兩人同時從A點出發,再次同時回到A點所需要的最少的時間為5和8的最小公倍數40,故此題答案為D . 在此題中,我們應該也明白,每次在A點相遇的時間都是40的倍數,若此題再變形,求第二次在A點相遇的時間,那麼為2×40=80分鐘。
【例5】甲、乙、丙三人沿著400米環形跑道進行800米跑比賽,當甲跑1圈時,乙比甲多跑1/7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他們各自跑步的速度始終不變,那麼,當乙到達終點時,甲在丙前面( )。【2005國考】
A.85米 B.90米 C.100米 D.105米
【解析】在此題中,我們可以列一個表格出來
|
甲 |
乙 |
丙 |
圈數(圈) |
1 |
8/7 |
6/7 |
路程(米) |
700 |
800 |
600 |
故,當乙到達終點時,甲在丙前面700-600=100米
【例6】在同一環形跑道上小陳比小王跑得慢,兩人都按同一方向跑步鍛煉時,每隔12分鐘相遇一次﹔若兩人速度不變,其中一人按相反方向跑步,則每隔4分鐘相遇一次。問兩人跑完一圈花費的時間小陳比小王多幾分鐘?()【江西2008-44】
A.5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】B 這道環形運動問題,將同向運動和反向運動問題糅合在一起,假設小陳的速度為V1,小王的速度為V2,跑道一圈長為S,則:
S =12×(V2-V1) ①
S = 4×(V2+V1)?②
①式 / ②式可得:V2 = 2V1
代入原方程可知:S=12 V1
兩人跑完一圈花費的時間差為S/ V1 - S/ V2 = 6分鐘。
【例7】某學校操場的一條環形跑道長400米,甲練習長跑,平均每分鐘跑250米﹔乙練習自行車,平均每分鐘行550米,那麼兩人同時同地同向而行,經過x分鐘第一次相遇,若兩人同時同地反向而行,經過y分鐘第一次相遇,則下列說法正確的是()。【山東2007-49】
A. x-y=1 B. y-x=5/6 C. y-x=1 D. x-y=5/6
【解析】D兩人同向而行,則有:(550-250)x=400 兩人反向而行,有:(550+250)y=400
可以得到,x=4/3 y=1/2,此時x-y= 4/3-1/2=5/6。
來源:華圖教育