2013年北京公考行測備考——雞兔同籠問題

“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題，出自我國1500年前唐代的一部算書《孫子算經》中。原題如下：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？縱觀近幾年國家和各省地市公務員考試的數量關系題目很多都可以轉化成這類問題，華圖公務員考試研究中心建議考生，對於此類問題的解答要求考生必須熟練掌握。

古代人們希望用心算就可以得到答案，對於此類問題的古人的算法是：給籠中的雞和免下一道命令，“金雞獨立，兔子舉手”，這時地面還剩多少隻腳？94÷2=47（隻），對於雞來說，頭數和腳數是一樣的﹔而免則是1頭對2足，所以兔子的頭數是47-35=12，即兔子有12隻，而雞有35-12=23隻。合成總算式為：兔數=足數÷2-頭數=94÷2-35=12，雞數=頭數-兔數=35-12=23。這是採用“金雞獨立，兔子舉手”的命令來做。

這個題目是不是也可以用類似命令的這樣的思路來想：雞兔共有35隻，如果把兔子的兩隻前腳用繩子捆起來，看作是一隻腳，兩隻后腳也用繩子捆起來，看作是一隻腳，那麼，兔子就成了2隻腳，即把兔子都先當作兩隻腳的雞。雞兔總的腳數是35×2＝70（隻），比題中所說的94隻要少94-70＝24（隻）。現在，鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數就會增加2隻，即70+2＝72（隻），再鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數又增加2……，一直繼續下去，直至增加24，因此兔子數：24÷2＝12（隻），從而雞有35-12＝23（隻）。

我們來總結一下“假設法”的解題思路：先假設它們全是雞，於是根據雞兔的總數就可以算出在假設下共有幾隻腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差2隻腳就說明有1隻兔，將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少隻兔。此類我們稱之為“假設法”，概括起來，解雞兔同籠題的基本關系式是：

兔數＝（實際腳數-每隻雞腳數×雞兔總數）÷（每隻兔子腳數-每隻雞腳數）

雞數＝（每隻兔腳數×雞兔總數-實際腳數）÷（每隻兔子腳數-每隻雞腳數）

下面我們通過歷年真題來進一步強化“假設法”

【例1】贏一場球賽得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊踢12場負6場得分16分，問勝了幾場？（   ）【安徽省省考2008】

A. 4                             B. 6                             C. 7                             D. 5

【答案】D。

【解析】比賽12場負6場，負一場得0分，即勝與平的場數之和也是6場，6場比賽得16分，將勝一局得分數看作兔腳，平一場得分數看作雞腳，則雞兔總數為6，腳數之和為16，套用上面的公式可以得到：勝的場數＝（16-1×6）÷（3-1）＝5（場）。

【例2】：某零件加工廠按工人完成的合格零件和不合格零件支付工資。工人每做一個合格零件得工資10元，每做一個不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12個零件得工資90元。那麼他在這一天做了多少個不合格零件？（   ）【國考2008-54】

A. 2                    B. 3                            C. 4                            D. 6

    【答案】A。

【解析】：本題中可令做一個合格零件得到的工資10元為兔腳，做一個不合格零件扣除的5元（即得到的-5元）為雞腳，12個零件可以看作雞兔總數，得到的工資90元可以看作雞兔的總腳數，這樣由解雞兔同籠題的基本關系式可得：合格零件個數＝（90-（-5×12））÷（10-（-5））＝10個。不合格數為12-10＝2個。（或利用公式計算不合格零件個數＝（10×12-90）÷（10-（-5））＝2個。）

【例3】一份中學數學競賽試卷共15題，答對一題得8分，答錯一題或不做答均倒扣4分。有一個參賽學生得分為72，則這個學生答對的題目個數是（   ）。【黑龍江省省考2008】

A. 9                     B. 10                    C. 11                    D. 12

【答案】C。

【解析】本題要求的是答對的題目的個數，因此可以將答錯的和不答的題看作一類。答對一題得8分，答錯一題得-4分，因此直接引用上述公式可以得出：

答對的題目的個數＝﹝72-15×（-4）﹞÷﹝8-（-4）﹞＝11。

【例4】：有大小兩個瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可裝水1千克，現在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個？（    ）【浙江省省考2009】

A. 26個                      B. 28個                      C. 30個                      D. 32個

【答案】B。

【解析】將大瓶裝水量視為兔腳，小瓶裝水量為雞腳，則大瓶數為（100-1×52）÷（5-1）＝12個，小瓶數為（5×52-100）÷（5-1）＝40個。大瓶和小瓶相差40-12＝28個。

以上是採用假設法解決“雞兔同籠”的問題，但是數學中引入方程的思維，我們就可以把雞兔同籠問題通過列二元一次方程進行求解。原題目是雞頭和兔頭共有35個，雞腳和兔腳共有94個，那我們就可以設雞X隻，兔子Y隻。根據題目所給就可以列出一個簡單的二元一次方程：

X+Y=35            ①

2X+4Y=94          ②

即：方程①雞和兔子都是一個頭，所以隻數相加即是頭的數量。方程②雞兩隻腳，兔子四隻腳，可以算出一共多少隻腳。很簡單的解方程問題。

下面我們通過國考2010年真題來進一步強化“方程法”

【例1】：某地勞動部門租用甲、乙兩個教室開展農村實用人才培訓。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。兩教室當月共舉辦該培訓27次，每次培訓均座無虛席，當月培訓1290人次。問甲教室當月共舉辦了多少次這項培訓？（   ）【國考2010-48】

A.8                 B.10                C.12                D.15

【答案】D。

【解析】：本題中可設甲教室舉辦X次培訓，乙教室舉辦Y次培訓，根據人數列方程，

   X+Y=27

   5×10×X+5×9×Y=1290

【例2】：已知甲、乙兩種產品原價之和為100元，因市場變化，甲產品8折促銷，乙產品提價10％，價格調整之后，兩種產品的標價之和比原標價之和提高了4％，則乙產品的原標價為多少元（   ）

A.20                B.40                C.80                D.93

【答案】C。

【解析】：本題中可設甲產品原價為X元，乙產品原價為Y元，根據甲乙標價之和前后比方程，

   X+Y=100

   0.8X+1.1Y=100（1+4%）

【例3】某班35人外出春游，老師給了小明88元買冰激凌，買了兩種口味，如果買20隻巧克力味和15個草莓味的就差2元，買15個巧克力20個草莓的剩下3元，一隻草莓味道的多少錢（   ）

A.4                 B.3                 C.2                 D.1.5

【答案】C。

【解析】：本題中可設巧克力味冰激凌為X元，草莓味冰激凌為Y元，列方程：

   20X+15Y=88+2

   15X+20Y=88-3

【例4】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種生物共18隻，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿，沒有翅膀﹔蜻蜓有6條腿，2對翅膀﹔蟬有6條腿和1對翅膀）求蟬有幾隻？（  ）

A.5                 B.6                C.7                 D.8

【答案】B。

【解析】：本題中可設蜘蛛X隻，蜻蜓Y隻，蟬Z隻，列方程：

   X+Y+Z=18

   8X+6Y+6Z=118

   2Y+Z=20

方程法解答雞兔同籠問題比較直觀，比如例4的題目涉及到三種物品時，假設法就很復雜了，但是採用方程法很簡單的求出結果。

以上是關於雞兔同籠問題的幾種解題思路，從中找到適合自己的方式，並能將一般問題轉化成雞兔同籠問題是對考生的基本要求。

我個人傾向採用二元一次方程法解答雞兔同籠問題，因為列方程的等式關系顯而易見，並且不會出錯，但是存在解方程費時的缺點。很多人認為採用“假設法”解答雞兔同籠問題能在最短的時間裡解出，但是存在需要記憶公式並解答的問題。所以希望考生們多做此類問題，找到適合自己的並能很快得出答案的方法。

來源：華圖教育