08高考数学复习:解析几何专题热点指导

2008年04月28日10:23  来源:城市快报

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图1
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图2


  
图3


  天津市第四十二中学 张鼎言

  1. 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,P)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点。

  (Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;

  (Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由(此题不要求在答题卡上画图)。

  解:(1)过C点的直线y=kx+p,k存在。A(x1,y1)、B(x2,y2)

  -x2-2pkx-2p2=0

  △=4p2k2+8p2>0

  x1+x2=2pk,x1x2=-2p2

  如图:

  S△ANB=S△ANC+S△BNC

  =-|NC|gh1+-|NC|gh2

  =-|NC|g(h1+h2)

  =-·2pg|x2-x1|=p|x2-x1|

  |x2-x1|2

  =(x1+x2)2-4x1x2

  =4p2g(k2+2)

  ∴S△ANB=2p2g-

  ∴当k=0时,

  (S△ANB)min=2-p2

  分析:(2)如示意图A(x1,y1)、C(0,p)、O'(-,-)

  R=|O'p|=-|AC|

  =--

  =--

  =--

  |O'H|=|--a|

  =-|y1+p-2a|

  |PH|2=|O'P|2-|O'H|2

  =-[(y12+p2)-(y1+p-2a)2]

  =y1(a--)+a(p-a)

  分析上面的式子,A为抛物线上的动点,所以y1是变量,p为常量,a为所求,定值是与变量y1无关的值,即在解析式中消去y1。

  由此,设a=-,|PH|2=-,|PH|=-

  |PQ|=2|PH|=p(定值)

  注:(2)是定值问题的分析方法,要分清常量与变量及变量与所求量。

  2. 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3;最小值为1。

  (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

  (Ⅱ)若直线l,y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

  解(1)

  -

  ∴-+-=1

  分析(2)-

  →(4k2+3)x2+8kmx+4(m2-3)=0

  △=64m2k2-16(4k2+3)(m2-3)>0

  →3+4k2-m2>0

  A(x1,y1)、B(x2,y2),D(2,0)

  x1+x2=--

  x1·x2=-

  由几何条件:AB为直径的圆过点D,∴|AD|⊥|BD|

  ∴kAD·kBD=-1

  -=-1

  y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)

  =k2x1x2+km(x1+x2)+m2

  =-

  y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0

  -+-+-+4=0

  (7m+2k)(m+2k)=0,这里m,k均为变量,要求l过定点,只有把m,k代入原方程,m1=--k,m2=-2k

  当l:y=kx--k=k(x--),若,l需与k无关,∴x=-,y=0,定点为(-,0)。

  当l:y=kx-2k=k(x-2),l过点D不合题意.

  注:本题(2)是直线与椭圆相交的基本类型,对直线的要求是过定点。

(责编:李栋)
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