中國古代科學技術是推動和支撐中華文明產生和持續發展的重要力量，也是中華文明的重要組成部分。數學是中國古代最發達的學科之一。

中國數學是東方數學特別是東亞數學的代表，形成了獨具特色的思想文化傳統。中國古代數學積澱下寶貴的數學思想基因庫，不僅為當時各種物質和精神活動提供了必不可少的支撐，而且其中很多思想和方法沿用至今，影響到今天生產和生活的方方面面，並對現代科技和數學的發展具有借鑒與啟迪作用。

數學體系豐富多元

不少人認為，中國古代數學只是應用問題集，沒有理論，這是很大的誤解。從遠古時期對數、形的簡單認識開始，經過漫長的發展，古代中國形成了內容豐富的數學知識。大體上說，中國古代數學可以分為基礎知識、形數一體的縱橫圖、參考現實問題設計算法的實用算法式數學和探討數學概念與命題的理論性數學。

基礎性數學知識包括十進位值制記數法、九九口訣和四則運算、計算工具（算籌和算盤）及其基本用法等。

縱橫圖是選用一些自然數按特定方式排列而成的具有某些特性的圖案。戰國末期出現了三階縱橫圖——九宮圖，宋代出現了高階縱橫圖及多種形狀的變形圖，后來又發展出更復雜的數字圖案，且不限於平面結構。縱橫圖追求的是數字、幾何結構和運算的完美結合，遠遠超出一般實用之需。

理論性數學討論數學的概念、命題和推導，在百家爭鳴的春秋戰國已有較大發展。盡管大多數相關史料的佚失使其發展規模和程度難以論定，但現存墨家和名家的文獻仍能反映出他們在幾何、算術、無窮概念等方面做過理論探索，並涉及推理原則和悖論。秦至明代，理論性數學知識主要包含在對算經的注釋中。比如劉徽的《九章算術注》界定了一些重要概念，建立並推導出少數基本定理，作為推導算法的基礎。特別是他將無窮分割方法用於圓面積公式、劉徽原理的論証，用“率”的概念貫通不同的算法，可謂中國古代理論化數學的典范。

實用算法式數學知識在中國古代一直居於主流地位，其門類繁多，涉及面廣。以《九章算術》的類別為基礎，兼顧其他算書的分類，可以將這類知識分為方田、粟米、衰分、少廣、均輸、商功、盈不足、方程、勾股、堆垛、天元術、大衍、軍旅等19個類別。它們服務於國家和社會的眾多事務，如當時國家對土地面積的測量與管理，對賦稅和財政的收取與分配，對工程的測算、計劃和推進，對天文歷法的推算，對軍事行動的籌劃與指揮，對地理目標的測量及地圖繪制，對音律的校准，對度量衡的制定等。

按現代的分類，中國古代數學主要包括算術、代數、幾何、數論、組合數學等幾個方面。這些內容大部分屬於初等數學，但也有一些屬於高等數學，比如矩陣形式的線性方程組、高次方程數值解、一次同余式組解法、復雜的縱橫圖，以及關於無窮概念的認識等。

積澱數理深厚底蘊

在積累豐富知識的基礎上，中國古代數學形成了自己的特色和傳統，沉澱了大量優秀的數學思想基因。

例如，印度—阿拉伯數字廣泛應用於今天的日常生活和高端科研中，其記數原理是十進位值制。然而，商代甲骨文中已有基於十進制的文字記數法，其時也已有了九九口訣。大約在西周、春秋之交形成了基於十進位值制的算籌記數法。十進位值制與算籌記數法、九九口訣互相配合，形成了三位一體的知識結構，使中國古代數學長於計算。這一優勢仍體現在今天國人的日常生活中。

將算籌記數法以位置表示數位的思想進行一系列創造性的發展，中國古代形成了以位置標識各種數學含義的一套位置示數法。以算籌表示和求解線性方程組是位置示數法在較早時期的體現。戰國時期，中國發展出以算籌表示並求解線性方程組的方法，它與今天用增廣矩陣表示和求解線性方程組的方法非常相似，領先世界兩千多年。

位置示數法還用於一元高次方程和多元高次方程組的表示和求解。它具有后來代數符號的功能，但早於西方的代數符號數百年。雖然代數符號方法從16世紀末發展至今已遠超位置示數法，但后者在某些方面仍具優勢。

早在遠古時代，中國古人就注意到奇數和偶數的不同。至晚在公元前1世紀便出現了勾股數組的通解公式。公元4—13世紀，中國發展出大衍總數術，形成一整套一次同余式組解法，它至今仍在數論研究中發揮著重要的作用。

縱橫圖由先秦九宮圖發軔，到宋代已發展出復雜多樣的平面縱橫圖，后又產生立體縱橫圖。古人從數列求和、隙積（按一定規則將若干物體堆砌而成的立體）問題發展出了處理高階等差數列求和及其逆問題的方法。這些都是中國在組合數學方面做出的先驅性工作。組合數學在現代的發展已蔚為大觀。

作為數學史上極重要的裡程碑成果，微積分是歷史積澱的產物。中國古人也為其作出了先驅性的貢獻。如公元前400年前后墨家提出了無窮、有窮的界定和判斷方法。與古希臘回避無窮概念不同，中國古人正視無窮，這更接近十七、十八世紀歐洲學者對待無窮概念的態度。墨家和名家有無限二分的思想，3世紀劉徽在割圓術和陽馬術注中用到無窮分割，祖暅之公理中蘊含不可分量思想。這些都是中國在微積分前史時期的貢獻。

中國古代用幾何解釋代數問題。比如用正方形、正方體的邊來理解平方根、立方根﹔用圖形的術語描述高次方程中未知量系數和常數項﹔用圖形塊來理解天元、四元術的表示與運算。這種代數和幾何結合的方法，不同於后來西方的解析幾何，但也非常有效。

汲取營養古為今用

清末民初社會劇變，使中國整個知識體系傳統向現代轉型，但傳統數學並未消失，而是融入到了現代體系中。比如十進位值制、九九口訣、四則運算、比和比例、開方、面積和體積算法等已成為今天的基本知識，只是形式差異等原因使現代人很少知道其中國淵源。

從宋代發展起來的珠算到20世紀90年代仍是常用的計算方法，它同時具有心到、口到、手到的特點。現代學者以此為基礎發展出珠心算，在計算機技術高度發達的今天，其仍發揮著計算和培養思維能力的作用。

歷史上數學方法和思想的存續與佚失，並非都是優勝劣汰的結果。因此，仔細考察古代數學的思想和方法，可以從中發現和汲取有效的營養，為今所用。在這一方面，中國科學院院士、著名數學家吳文俊作出了表率。

1974年春，吳文俊在特殊歷史條件下學習中國古代數學史。他很快認識到，中國古代數學有著重視列方程、解方程的傳統，形成了系統理論，具有幾何代數化的思想方法﹔其算法具有程序化、機械化和構造性特征。這啟發了吳文俊通過建立坐標系將幾何問題代數化，用方程和多項式理論來解決數學定理的機器証明問題。1976年底至1977年初，他的研究取得重大突破，后來他又進一步開創了數學機械化領域的新局面。可見，中國古代數學可以為現代數學提供思想和方法上的借鑒和啟迪。

位置示數法通過在平面上不同位置擺放算籌來表示各種算式並進行運算，其中有蘊含深刻思想的簡單操作。比如移動一張文字卡片的位置就可以表示將多項式的各項乘以或除以未知數的整數次冪，這比今天的代數符號表示法更具優勢。

不過，古代無法將算籌擺放在豎直面上，這就使得超過四元的籌算操作法在古代難以實現。但現代計算機技術可以模擬三維空間結構，甚至能夠可視化多維的空間結構。將現代計算機技術與古代位置示數法有機結合，有可能為數學發展提供新的思路。

比如，採用現代的符號表示法與位置示數法表示各種算式，同時將算式置於特定的空間位置表示相應的含義，再根據問題類型的不同性質和條件，設計不同位置上算式之間的運算法則，從而在發揮位置功能的同時，既能突破四元術由於所利用的維數少而導致未知量個數上的限制，又能充分發揮代數符號表示法的既有優點，從而為數學研究提供可能的新途徑。

總之，中國古代有著豐富的數學思想和方法，充分挖掘其中的優秀基因，並與現代科技有機結合，可以為新時代的文化建設和科技發展提供新的動力。

（作者鄒大海，系中國科學院自然科學史研究所研究員）