王虹、鄧煜與其他兩位數學家共同獲得菲爾茲獎，這是令國人振奮的消息，也是中國數學家感到自豪的時刻。我祝賀他們！

王虹和鄧煜是兩位非常重要的數學家。王虹的研究領域是調和分析和幾何測度論。調和分析是一個歷史悠久的數學分支，在應用領域中也有著十分重要的作用。而幾何測度論這門學問廣博而艱深，我深有體會——這不僅源於與幾何測度論專家西蒙的多年合作，也因我在1980年提出的橢圓算子特征函數零點集Hausdorff測度猜想。西蒙、柯丁、米尼科帝、費弗曼、索格與哈特等人都曾對上述猜想作出過重要貢獻，但至今未完全解決。這個問題已經有40多年了，我相信王虹的工作對解決這個重要問題會有幫助。

我的好友查爾斯·費弗曼是1978年菲爾茲獎得主。早在1971年，他就在一篇論文中指出，挂谷猜想與傅裡葉分析之間存在著深刻的聯系。自此以后，這一問題便引起了包括調和分析學者在內眾多數學家的濃厚興趣。例如，在普林斯頓大學就有不少學者致力於此研究。其中一位名為托馬斯·沃爾夫的數學家，后來轉至加州理工學院，我與他也頗為熟識。20多年前，他曾投入大量精力，最終証明了該猜想在特定情形下的部分結論。因此，王虹與其合作者在2025年成功証明了三維挂谷猜想，無疑是一項極具分量的突破。我由衷為此感到高興，也很高興她獲得了菲爾茲獎。

鄧煜攻克的問題同樣源遠流長。偉大的數學家希爾伯特1900年提出了著名的23個問題，他提及：如何從基本的物理定律出發，嚴格推導出流體力學方程，並解釋與流體相關的各類現象。從第一性原理出發証明這些方程的有效性，是長期困擾數學家的一大難題，許多杰出學者都曾為此付出努力，其中包括柯爾莫哥洛夫和我的老師查爾斯·莫裡，他在20世紀50年代便已取得若干重要進展。正因如此，我對這一課題印象極為深刻，而鄧煜的成果無疑是個重要的突破。

我曾與多位同行討論過鄧煜工作的重要性。其中一位是哈佛大學姚鴻澤教授，他曾與印度學者斯裡尼瓦·瓦拉丹共同研究過這一問題，並作出了重要貢獻。他認為，鄧煜的成果實際上回應了美國數學家蘭福德當年所提出的一系列關鍵問題，堪稱根本性的進展。

鄧煜的另一項研究，是與合作者成功建立了三維波動方程吉布斯測度的不變性，將概率論方法系統性地引入波動方程研究。鄧煜的工作也為場論的數學基礎提供了嚴謹的分析框架，更實質性地推廣與拓展了兩位菲爾茲獎得主——布爾甘與海爾在該領域曾做出的開創性工作。布爾甘與海爾的太太都是中國人，他們對中國數學家也很友好。

王虹與鄧煜都是極其出色的學者，他們的成就是毋庸置疑的。王虹的工作扎根於幾何與分析的深度融合，鄧煜的研究則貫穿方程與物理的交叉前沿。二者雖然路徑不同，卻共同展現了跨學科融合的趨勢，正日益成為推動數學向前發展的關鍵力量。

約翰·帕頓研究辛幾何與低維拓扑。他讀博士第二年就解決了三維情形的希爾伯特-史密斯猜想，在博士論文中對辛流形Gromov-Witten不變量給出了全新的構造方法。近年來，在一系列文章中，帕頓與合作者為深谷范疇發展了一套強大的理論，推動了鏡像對稱以及辛幾何的重要進展。最近，他還解決了三維卡拉比-丘流形曲線計數的MNOP猜想。他從讀大學開始，就已經是數學明星。他的父親威廉·帕頓也是一位數學家，研究代數拓扑。

雅各布·齊默曼深刻變革了算術幾何與超越數論。他與莫毅明等合作証明志村簇的Ax-Schanuel猜想，與合作者在2021年証明有30多年歷史的Andre-Oort猜想。他今年還被邀請作國際數學家大會一小時大會報告，這是極高的榮譽，通常僅向成就卓著的資深數學家發出邀請。縱觀國際數學家大會的歷史，40歲以下受邀作一小時大會報告的數學家，幾乎毫無例外地獲得了菲爾茲獎。僅有極個別的例外，且其未能獲獎的原因往往涉及非學術因素。

帕頓和齊默曼都是2018國際數學家大會的45分鐘學科報告人，那時他們都不滿30歲。

回想1982年，我因解決卡拉比猜想和正質量猜想而被授予菲爾茲獎。但由於當時國際政治局勢緊張，頒獎典禮推遲至1983年才正式舉行。那段時期，我實際上處於沒有國籍的狀態——我的香港身份証明書已被注銷，返回中國仍面臨許多困難，而我亦未申請美國國籍。我當時就是一個中國人，海外數學家朋友也視我為中國人，我感到十分自豪。

今天，看到我們年輕一代的數學家，他們在中國接受扎實的基礎教育，在海外完成卓越的研究工作，最終獲得菲爾茲獎——我深感榮幸，也由衷欣慰。今年，世界華人數學家大會為他們頒發了數學金獎，可以看作是華人數學界對他們成就的推崇。

在過去10余年間，中國數學取得了令人矚目的進步，部分學科已躋身世界一流行列，越來越多的學者正在沖擊世界一流的工作。當前，中國對基礎科學包括數學在內，支持力度空前，超越了世界上任何國家。我認為，中國已成為基礎研究的一片熱土。

我希望，中國成長起來的年輕一代數學家，能夠在本土完成最關鍵的突破，走出我們中國數學自己的路，這是成為數學強國最重要的一步，也是中國走向科技強國的必由之路。我希望中國數學早日躋身全球頂尖行列，引領世界基礎學科發展潮流。

（作者：丘成桐，系菲爾茲獎得主、清華大學講席教授）