公務員考試·行程問題

“化曲為直”快速解決復雜行程問題

詹凱 新東方北斗星公務員考試研究中心研究員

2007年05月25日09:57  來源:人民網-教育頻道

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在公務員考試當中,行程問題是一大類問題,也是考試每年必考的熱點題目。行程問題的難度在逐年增大,主要表現在,由一個物體的運動增加為多個物體的運動,由在直線上運動變為繞著圈運動等等。我們把較難的行程問題稱為“復雜行程問題”。
今天我們主要目的解決“復雜行程問題”中的一類問題——曲線運動問題,即運動路線不是直線的問題,物體可以來回跑、可以繞著圓圈跑,還可以繞著正方形、三角形等等各種各樣的路線跑。

(1)2003年國家A類考題第14題:姐弟倆出游,弟弟先走一步,每分鐘走40米,走了80米之后,姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米,姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上弟弟又轉去找姐姐,碰上姐姐又轉去追弟弟,跑來跑去直到姐弟相遇小狗才停下來,則小狗跑了(    )米
A.600    B.800    C.1200    D.1600

這是奧數題目中經典的追擊、相遇問題。最直接的考慮就是計算出狗第一次追上弟弟跑的路程,然后再回來遇到姐姐跑的路程,扭頭再追上弟弟跑的路程,返回跟姐姐相遇跑的路程……把這一系列數相加得到結果。只是這麼一分析就會發現,這“一系列”竟然有無窮多項,而且每次計算小狗跑的路程都相當麻煩。怕是考試都已經結束了,這一道題連一半還沒有做完。顯然不能這麼求解。
注意到一個事實,小狗跑的時候速度是不變的,要想知道小狗跑的路程關鍵就是能夠求出小狗跑的時間。隻要姐姐還沒追上弟弟,小狗就一步不停的在跑。換句話說——小狗跑的總時間正好是姐姐追上弟弟所用的時間。由此可得,小狗跑的路成為,


 ,選A。
這道題中,小狗跑的路線就是來回了很多次,然而我們把它跑的路線看成在一條平直的路上跑就輕而易舉的求解了。
下面讓“化曲為直”發揮更大的作用。

(2)2005年國家A類考題第42題:甲、乙、丙三人沿著400米環形跑道進行800米跑比賽,甲跑1圈時,乙比甲多跑1/7圈,丙比甲少跑1/7圈。如果他們各自跑步速度不變,那麼當乙到達終點時,甲在丙前面(    )米
A.85    B.90    C.100    D.105

這道題我們把整個800米跑看成是沿著一條直線跑,畫一張圖來幫助求解。


根據題意,當甲跑到400米處時,三個人距離0點的距離比為(用角標1、2、3分別代表甲、乙、丙),
 
甲、乙、丙三個人在相同時間內所跑路程之比為上式,因此他們的速度也為,
 
當乙跑到800米處時,由於三個人跑步的時間相同,因此他們所跑的路程比值還是
 
即,甲此時跑到了700米處,丙此時跑到了600米處,所以甲在丙前面100米。
“化曲為直”之后,利用簡單的比例關系,難題變得異常容易。
不是圓圈的題目還能變成直線!

(3)2006年北京社招考題第21題:某單位圍牆外公路圍成了邊長為300米的正方形,甲、乙兩個人分別從兩個對角逆時針同時出發,如果甲每分鐘走90米,乙每分鐘走70米,那麼經過(    )甲就能看到乙
A.16分40秒    B.16分    D.15分    D.14分40秒

此題以上手覺得還算容易——無非是甲、乙兩人之間距離小於300米,甲就能看到乙了。仔細想想其實不然——即便是甲、乙就差了1米,但是兩個人剛好處於一個拐角的兩邊,甲還是看不到乙。這樣想下去就會被這道題的方形給“套”進去。
我們來把這個題目換個說法,變個圖樣。


這個題現在變成了這樣一道題目:甲、乙沿著一條長直公路行走,這條公路每300米被劃分成“一格”,一開始乙在甲的右端2格處,甲的速度為90米/分,乙的速度為70米/分,請問,甲、乙兩人過多久能夠走在同一格內?
這跟原題在本質上是同一道題。
先用答案中比較好算的一個時間來驗証一下,代入15分鐘這個數值,發現過了15分鐘時,甲走了1350米,乙走了1050米,甲、乙兩人的位置關系變成了圖中“甲’”和“乙’”所示。而且兩人正好處於兩個相鄰格的正中間。
回過頭想想一開始的那個做法,這裡就會出錯了。兩人距離不超過300,但是甲仍然看不到乙。
這時候別急著列式求解,分析一下題目現在的情況——甲、乙現在距離格檔都是150米,然而甲比乙走的快。所以當甲走完剩下的150米,來到下一個格檔的時候,乙還沒有走到格檔處,也就是這時候甲就能看到乙了。所以,
再過150/90=1分40秒,甲就能看到乙了。加上開始的15分鐘,一共過了16分40秒,甲就能看到乙。
“化曲為直”,看似無法求解的題目得到完美解答。

當然,有些題目看似可以用這種方法求解,但深究就會發現並不這樣。比如,

(4)2005年北京社招考題第19題:右圖是邊長為100米的正三角形,甲從A點、乙從B點同時出發,按順時針方向沿三角形的邊行進。甲每分鐘走120米,乙每分鐘走150米,但過每個頂點時,因轉彎都要耽誤10秒。乙出發(    )分鐘方可追上甲

A.3    B.4    C.5    D.6
粗看來,這道題跟前一道題異曲同工,企圖採用同一種方法求解,結果發現這種方法失效了。
那麼是這種“化曲為直”的方法真的失效了麼?我們來深究一下這種方法的奧妙。
請注意這樣兩個事情:第一,根據速度公式s=vt﹔第二,在前三道題中,共同特點是需要計算的運動物體或者人,在運動過程中始終保持勻速運動,沒有停止過。
如果v始終不變,隨著時間的推移,s發生了變化,但是這種變化與s究竟是什麼形狀沒有關系,隻與s究竟多長有關。
這就是“化曲為直”的內在本質!
再看看第四題,這道題中,甲、乙兩人都是走走停停,v在不斷發生變化,這時候再把s“拉直”就肯定出了問題。而對付這類問題則有這類問題的巧妙解法,將在后續的文章中逐一呈現給大家。
綜上看來,“化曲為直”方法解決的“復雜行程問題”,是這樣一類問題:無論題目中的運動情況多復雜,運動的物體或者人其運動的速度始終保持不變,這時候運動的路線就成了一個迷惑人的“幌子”,我們把這張幌子“扯平”,把曲線“拉直”,這類問題便迎刃而解。

(責編:馬麗)
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